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アナログ電子回路コミュニティサービス終了のお知らせ

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ジム・ウィリアムス
タイトル
スタインメッツの交流理論
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アクセス287
カテゴリーその他
キーワード フェイザ   インピーダンス   方程式   複素数   正弦波   Powered by Yahoo
投稿日時17/11/30 03:51
の証明をしてみましょう。
見たことないでしょ!

■素子の電圧と電流の関係
正弦波、定常状態での素子の両端電圧eと電流iの関係を考える。この場合、すべての電圧、電流波形は正弦波とする。
抵抗Rなら、
e=R*i
インダクタLなら、
e=Ldi/dt
コンデンサCなら、
e=∫(i/C)dt

ここで、オイラーの公式を使い、、
e=Re(E*e^(jωt))
i=Re(I*e^(jωt))
と表す。E,Iは複素数で振幅と位相差を表していて、フ
ェイザと呼ばれる。ここで、複素数の掛け算においては、
大きさは大きさの積で、偏角は和になるとする。
すると、

抵抗Rなら、
Re(E*e^(jωt))=R*Re(I*e^(jωt))
インダクタLなら、
Re(E*e^(jωt))=Ld(Re(I*e^(jωt)))/dt
=L(Re(jωI*e^(jωt)))
コンデンサCなら、
Re(E*e^(jωt))=∫((Re(I*e^(jωt)))/C)dt
=Re(I*e^(jωt)/(jω))/C)
ここで、微分とReが交換できる、ということを利用する。
【証明】
dRe(a+jb)/dt=db/dt
Re(d(a+jb)/dt)=db/dt

すなわち
Re(E*e^(jωt))ーR*Re(I*e^(jωt))=0
Re(E*e^(jωt))ーL(Re(jωI*e^(jωt)))=0

Re(E*e^(jωt))ーRe(I*e^(jωt)/(jω))/C)=0

さらにこれは、
Re((EーR*I)*e^(jωt))=0
Re((EーL*jωI)*e^(jωt))=0
Re((Eー(I/(jωC)))*e^(jωt))=0

これらが任意にのtで成り立つためには、
EーR*I=0
EーL*jωI=0

EーI/(jωC)=0
でなければならない。つまり、
Rの場合、
E=I*R
Lの場合
E=jωL*I
Cの場合
E=I/(jωC)
というフェイザ間の関係が出てくる。

■方程式がDC電源のときの抵抗回路と同じになる

正弦波の定常状態での解は、DC、抵抗回路の方程式で、L,Cでの電圧降下項を、
R*i-->Ldi/dt、(1/C)∫idt

と置き換えればよい。
さらにこれは、
Re(jωL*I*e^(jωt))、Re((I*e^(jωt)/(jωC))

すると方程式は、DC回路と同じ方程式で、L,Cの部分を
Re(jωL*I*e^(jωt))、Re((I*e^(jωt)/(jωC))

に置きかえたものになる。この方程式が任意のtで成り立つためには、
e^(jωt)を省き、Reをとる前の値の関係が、
同じ方程式を満足する必要がある。
つまり、L,Cの部分をRとしたときの方程式を、
f(R1,R2,・・・、Ri,・・・、Rj、・・・Rn)=0

としたとき、Riの部分がL、Rjの部分がCであるとすると、
f(R1,R2,・・・、jωL,・・・、1/(jωC)、・・・Rn)=0

というフェイザE,Iに関する方程式になる。つまり、正弦波の定常状態での計算は、LをjωL、Cを1(jωC)というインピーダンスにし、DC回路と同じ方程式をとけばいい。

■インピーダンス
抵抗回路と同じように、ある回路網の電圧と電流のフェイザの関係は、
L-->jωL
C-->1(jωC)
と置くことでDC回路と同じように計算できる。こうして出てきた回路のE/Iの値(複素数)をインピーダンスという。
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