アナログ電子回路技術者同士の交流のためのアナログ・デバイセズ提供の掲示板サイトです。
日々の回路設計活動での課題や疑問とそれらの解決、あるいはご意見やご提案などの投稿を是非お寄せください!
  トップページに戻る
 現在の総記事数
 Translation
スタッフ
 

閲覧数の多い投稿

* ランキング情報は約24時間おきに更新されます。
ポイント数が高い投稿

* ランキング情報は約24時間おきに更新されます。

アナログ電子回路コミュニティサービス終了のお知らせ

平素はアナログ電子回路コミュニティをご愛顧いただき誠にありがとうございます。

この度、アナログ電子回路コミュニティは2018年3月末日をもってサービスを終了することとなりました。それに伴いまして、本サービスへの新規会員登録は2月末日をもって締切りといたします。約10年という大変長い間、たくさんの皆様にコミュニティをご利用いただきましたこと、深く感謝申し上げます。

なお、コミュニティに掲載しているコンテンツは編集の上、アナログ・デバイセズ社のウェブサイトに随時掲載していく予定です。詳細は追って会員の皆様にお知らせいたします。

今後ともEDN Japanをご愛顧くださいますようお願い申し上げます。


アナログ電子回路コミュニティ運営事務局
* LTC製品に関するご注意
申し訳ございませんが、現時点ではリニアテクノロジー社製品についてのお問い合わせは、リニアテクノロジー社の 技術サポートページ からお問い合わせください。

スレッド一覧に戻る

aaaaaa
タイトル
円周率 π の計算(いまさら)
ポイント []
pt.
アクセス4485
カテゴリーその他
キーワード tan-1   オイラー   円周率   マーチン   至宝   Powered by Yahoo
投稿日時11/10/10 09:11
■円周率πを計算するマーチンの式

π/4=4tan-1(1/5)-tan-1(1/239)

は、すごいですね。よくこんな発想がでてきたものです。

少し、解説してみます。


tan-1(x)のテイラー展開は、

tan-1(x)=x-1/3x^3+1/5x^5-1/7x^7+1/9x^9-・・・

です。円周率πは、π/4=tan-1(1) ですから、

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・

となりますが、収束がおそく、実用にならない。

■そこでマーチンの式が出てきたわけです。

{証明}

tan(α)=1/5, tan(β)=1/239

なるα、βを仮定する。加法定理を使うと、

tan(2α)=2tan(α)/(1-tan^2(α))=5/12 より、

tan(4α)=2tan(2α)/(1-tan^2(2α))=120/119

この結果を用いれば、

tan(4αーβ)=(tan(4α)-tan(β))/(1+tan(4α)tan(β))
      =(120/119-1/239)/(1+(120/119)(1/239))=1

1=tan(π/4) なので、π/4=4αーβ、つまり、

π/4=4tan-1(1/5)-tan-1(1/239)

となる。マーチンは1680年生まれ。

■計算例
級数の数項で計算してみる。

tan-1(1/5)≒1/5-(1/3)(1/5)^3+(1/5)(1/5)^5-(1/7)(1/5)^7
=323852/1640625

tan-1(1/239)≒1/239-(1/3)(1/239)^3=171362/40955757

これより、

  π=4(4*323852/1640625-171362/40955757)
=3.1415917

四捨五入した 3.141592は正しい。

■参考

吉田武「オイラーの贈物」ちくま書房

副題「人類の至宝e^iπ=-1を学ぶ」

この本お勧めですよ。我々の至宝です。是非買ってください。

目的はオイラーの公式を証明することです。
アメリカの理論物理のファインマンは「オイラーの公式」
を「人類の至宝」と言ったそうです。

高校の数学などとは、一線を隔てる、誰もを震撼させる、驚くべき成果なのでしょう。

 もしこの式がなければ、どうなるのでしょうか?交流理論も
ありません。正弦波に限定したとしても、方程式の解は見通しのよい形には整理できません。伝送線路の理論も今のような簡単な式に集約されることはないでしょう・・・

コメントする     


ジム・ウィリアムス 回答番号 6
タイトル
おもしろいですね
ポイント
pt.
アクセス237
投稿日時17/11/28 21:39
グレゴリー級数は、テーラー展開の100年位前にはっけんされた。
グレゴリー展開というべきですね。
※このデータをダウンロードするにはログイン(ユーザー登録)が必要です。

aaaaaa 回答番号 5
タイトル
グレゴリー級数の証明?
ポイント
pt.
アクセス5451
投稿日時11/10/13 07:31
πの計算に用いられるtan-1(x)の展開式
つまり、グレゴリー級数の話題です。


http://math-lab.main.jp/taylor.html
によれば、テイラー(Brook Taylor 1685-1731)により、現在で言う
テイラー展開が発表される40年も前に、
グレゴリー(James Gregory1638-1675)により、tan-1(x)の展開式が発見
されています。
 これが世界初の級数展開であるそうです。
テイラー展開と呼んだのはオイラーであるそうですが、
グレゴリー展開というべきかもしれません。

 マクローリン展開はx=0でのテーラー展開を言うものです。マクローリンは発明者ではないそうです。

■グレゴリー級数の証明(まったく自信ありませんが)

∫(0,x)dx/(1+x^2)=tan-1(x)         (1)

であることを、グレゴリーは見出していた。

 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+x^8-・・・ (2)
とおいてみる。x^2nで打ち切っtて、両辺に(1+x^2)をかけると、

 1=1-x^2+x^4-x^6+x^8-・・・+(-1)^n*x^2n
+x^2-x^4+x^6-x^8+x^10-・・・+(-1)^(n-1)*x^2n+(-1)^n*x^2(n+1)
=1+(-1)^n*x^2(n+1)

もしxの大きさが1以下であれば、n-->∞で(-1)^n*x^2(n+1)-->0
だから、
(2)はそのとき正しい。(2)式を(1)に入れ、積分を実行すると、

 x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-・・・=tan-1(x)

という、グレゴリー級数が証明される。テイラー展開は使っていない。


aaaaaa 回答番号 4
タイトル
πのそのほかの公式
ポイント
pt.
アクセス4934
投稿日時11/10/13 07:30
オイラーはπに関する多くの式を見つけたみたいです。
その1例として、長年多くの数学者を苦しめぬいた問題、

 1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・

の値をπ^2/6と求めてしまいました。また、

 π^2/8=1/1^2+1/3^2+1/5^2+・・・

 π^2/12=1/1^2-1/2^2+1/3^2-1/4^2+・・・

というのもあります。


また次の関係も見出しました。乗積形式です。

 π^2/6=2^2/(2^2-1)*3^2/(3^2-1)*5^2/(5^2-1)*7^2/(7^2-1)・・・

すごいですね。

aaaaaa 回答番号 3
タイトル
ありがとうございます
ポイント
pt.
アクセス4939
投稿日時11/10/13 07:28
鳴門真樹様へ

おもしろい情報ありがとうございます。

> π/4=4tan-1(1/5)-tan-1(1/70)+tan-1(1/99)

は興味深いですね。調べて見ようと思います。

π=20tan-1(1/7)+8tan-1(3/79)

により、オイラーは20桁まで計算したそうです。

ところで、フォートランなどで、
大きな桁数を扱うときって、変数はどうするのですかね?
その辺がわかりません。
 いくつもの変数をつなげるのですか?

 COBOLは懐かしい!

鳴門真樹 回答番号 2
タイトル
πの計算ーその3
ポイント
pt.
アクセス5442
投稿日時11/10/12 21:51
マチンの式
π/4=4tan-1(1/5)-tan-1(1/239)
は、有名ですがこれで多倍長を計算しようとすると
239^2が結構いやらしいので
私は
π/4=4tan-1(1/5)-tan-1(1/70)+tan-1(1/99)
(これも名前がついていたはずですが失念しました。)
を、使ってメインフレームぶん回していました。
計算自体はFORTRANでやったのですが
5桁ずつ区切って印字する方法に困って、
印字にはCOBOLを使うという荒業(笑)

かれこれ30年近く前のことです。

aaaaaa 回答番号 1
タイトル
πの計算ーその2
ポイント
pt.
アクセス5019
投稿日時11/10/11 09:08
ちくま学芸文庫 ベックマン「πの歴史」からです。

 この本は、私が高校のとき、違う出版社から出ていて、それを読んだ
記憶があるのですが、再販です。

 これによれば、マーチン(現在ではマチンと発音する)は1706年
に100桁のπの値を得たそうです。

 最初に、コンピュータによってπが計算されたのは、1949年で
あった。ENIACによる。2037桁を70時間要した。マチンの式
でプログラムされた。
 1954年には、バージニア州のNORCが3089桁を13分で
計算した。
 その後、1956年に、パリでIBM704により、マチンの式により
1時間40分で10000桁計算された。

 ところが、1961年に、シャンクスとレンチは、マチンの式ではなく、

    π=24tan-1(1/8)+8tan-1(1/57)+4tan-1(1/239)

という1896年ストーマーの発見した式をつかい、100265桁を
計算した。

スレッド一覧に戻る



コメント投稿

* コメントの投稿にはログイン(ユーザー登録)が必要です。


タイトル

* 50文字以内
『初心者でも大丈夫!』
(記事の内容が初心者向けの場合はここにチェックをしてください。)
本文

* あと6000文字

ファイル1
ファイル2
ファイル3

* 5MBまでのGIF, JPEG, PDF ファイルが投稿できます。

* 入力に時間がかかると、セキュリティのためにログイン情報が破棄されて書き込みが処理されないことがあります。投稿内容確認ボタンを押す前に、一旦文章をクリップボードにコピー(本文入力欄をクリック後Ctrlキー+A、Ctrlキー+Cと連続で押す)して、再貼り付けできるようにしておいて下さい。

ゲスト 様
投稿する場合はログインして下さい。 初めての方はこちらからご登録ください。

お知らせ
ユーザーランキング

* ランキング情報は約24時間おきに更新されます。


  個人情報保護方針会社情報お問い合わせ

copyright(c) 2010 - 2017 ITmedia Inc.